理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof (2)_PRO

前言

在本系列的第一篇文章中，我們介紹了Bulletproofs在Rangeproof上的應用，當prover想要證明v值在范圍內時，他需要發送2n+7個元素。然而，這種O(n)級的CC并不是我們想要的，希望能尋找一種方法可以把CC降低到O(log(n)級。

所以，本篇我們就主要介紹這個優化過程，主要分為兩部分：

以簡單的場景去闡述這個優化過程把第一篇的Rangeproof結果嵌入到優化過程注：第一篇文章由于格式的原因，公式顯示會有誤差，向量的特殊標記也沒有顯示出來，因此本篇將以圖片的形式展示整個過程；另外，本文最后也附上了第一篇文章的圖，幫助大家理解^_^

ZigZag已在測試網上線隱私DEX Invisible，允許用戶進行私下交易:8月7日消息，zkSync 上 DEX ZigZag 宣布支持隱私的 ZK-Rollup DEX Invisible 已上線測試網，Invisible 是一個訂單簿交易平臺，允許用戶私下交易資金。用戶訪問測試網無需 Goerli ETH，只需簽署一條信息即可參與測試。用戶可在「存款 / 取款頁面」申請 ETH、USDC 與 BTC 進行測試，無需確認錢包交易。[2023/8/7 21:29:16]

ImprovedRangeproof----Asimpleexample

三箭資本將17780枚stETH換為16625枚ETH，并全部兌換為近2億枚DAI:6月14日消息，鏈上數據顯示，被Nansen標記為三箭資本的地址（0x5491fb87ebc0d870ddaa1f757719e11928b1a8cb），將17780.08枚stETH兌換為16625.07枚ETH，兌換比例為0.9350:1，價值約2億美元。并已將全部16625枚ETH兌換為近2億枚DAI。[2022/6/14 4:26:14]

1.預備知識

花旗集團CEO：我們正在走向一個無限的虛擬經濟:6月10日消息，Bloomberg Markets近日就未來30年（即2052年）市場創新前景采訪了花旗集團首席執行官Jane Fraser，她表示世界正在走向一個無限的虛擬經濟，數字資產進出通道是無限的，元宇宙活動也將變得很普遍，數字資產將被廣泛接受并實現證券化，機構對數字資產的采用正在增加，我們將看到資產化身以不止一種形式存在于傳統資產、數字原生資產和Token化版本的傳統資產之間。JaneFraser并表示，實現這一目標需要行業范圍內的運營標準和改善私營和公共部門的市場基礎設施、適當的監管框架、新一代的風險管理和治理工具。（彭博社）[2022/6/11 4:17:38]

2.一個簡單的場景

3.復雜度優化到O(log(n))

下圖是一張基于上述過程的交互協議

有幾點需要說明：

圖的右半部分分為兩個部分a.黃色部分為文章前面部分講述的過程。這又分為三個部分：?i.初始化：省略了P的計算和交互的過程，我們假定開始此證明協議前，驗證者已經有了一些基本的信息。這并不嚴謹，僅僅是為了清晰的表示后面的交互過程

?ii.LOOP：一個不斷迭代的過程，每次迭代，會:

產生一對(Li,Ri)，所有向量長度減半Verifier計算P?i?/g?i?/h?i`?iii.End：最后一步，向量a,b已減半成常量a,b

?b.綠色部分為黃色部分的進一步優化，優化思想主要是多次冪乘操作縮減成單詞冪乘操作，具體的是：

?i.上述LOOP中的第3步，延遲到最后一部一次性計算

ArealRangproof

回顧第一篇文章，我們知道，當我們要證明v屬于時，驗證者最終要驗證：

對關系式做個變換：

因此，prover是要證明有向量l，r滿足關系：

基于此關系，使用上述協議，就可以使rangeproof的交互復雜度降低到對數級。現在，是不是找到點內味了？

總結

本篇文章主要講到了，BulletProof是如何把Rangeproof的CC降低到O(log(n))，并且介紹了更近一步的優化。結合第一篇文章，相信你已經對基于Bulletproofs的Rangeproof原理有了整體的了解，在本系列的第三篇文章中，將給大家分享Rangeproof的工程上實現細節。

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