ZKSwap團隊解讀零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof（1）_PRO

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：

用于rangeproof；用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。Rangeproof

1.預備知識

aL：表示向量{a1、a2……an}

2n：表示向量{20、21…2n-1}

<a、b>:表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……anbn}，結果是一個向量

比特幣礦企HIVE Blockchain 2月產出250枚BTC，售出267.7枚BTC:金色財經報道，比特幣礦企HIVE Blockchain 2月產出250枚BTC，平均每天產出8.9枚，平均哈希率為2.75 EH/s，較1月環比增長16%。截止3月3日，HIVE共持有2365枚BTC，市值超過5600萬美元，2月共售出267.7枚BTC，凈收益為660萬美元。

HIVE現已安裝超過4200臺BuzzMiner，并在數據中心接收至少5600臺BuzzMiner，后續將繼續安裝以提高整體哈希率。此外，HIVE預計接下來2個月內將收到645臺BuzzMiner。（Newsfilecorp）[2023/3/3 12:40:55]

2.證明

Alice想要證明?v??=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

哈薩克斯坦參議院通過監管加密貨幣挖礦和交易的法案:金色財經報道，哈薩克斯坦參議院通過了一項法案，旨在監管該國的加密貨幣和相關活動。據當地媒體報道，隨著其他法律文件的頒布，新的《哈薩克斯坦共和國數字資產法》為在該國建立加密生態系統創造了條件。議會上院議員在1月早些時候審議了這一綜合法案，并決定對其提出某些修正案，議會下院已經批準了該法案的版本。然而，總統Kassym-Jomart Tokayev于1月19日解散了眾議院，并要求提前舉行選舉。

參議員Bekbolat Orynbekov表示，在選舉出新的議會下院之前，參議院擁有所有的立法權。該數字資產法規和相關法案構成了一套單一的法律，使哈薩克斯坦國家元首能夠履行其對數字貨幣挖礦及其流通的監管職責。

Tokayev還沒有簽署這項法律和參議員提出的其他必要修改，包括對哈薩克斯坦稅收和其他預算支付、司法行政和行政違法法律的修正案。據悉，政府的一個關鍵目標是監管在該國發行數字貨幣公司的活動。[2023/1/30 11:36:26]

{：V=?grhv?^v??}

華納兄弟官方《權力的游戲》NFT系列在7小時內售罄:金色財經報道，華納兄弟官方《權力的游戲》NFT系列上線 Nifty's 后不到七個小時就售罄，當前的底價為 0.7ETH（93 美元），價格已從最初的 150 美元鑄造價格下跌，每個 NFT“盒子”都包含一個頭像、資源卡和故事卡。但部分買家報告稱在購買過程中被雙重收費或者收不到 NFT。Nifty's 表示，任何未導致 NFT 出現在錢包中的已處理付款都將被撤銷或退款。[2023/1/12 11:07:13]

public-xwitness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n?>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

NFT項目Digi Daigaku地板價突破12 ETH:8月29日消息，據OpenSea數據顯示，NFT項目Digi Daigaku地板價突破12ETH，暫報12.4ETH。該項目曾于8月9日采取Free Mint形式發售。[2022/8/29 12:55:54]

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)、(4)確保了aL?元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp?中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n?。

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

驗證者隨機選取一個數y發送給證明者證明者要證明：

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了aL?元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

驗證者隨機選取一個數z發送給證明者證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積。

4.三個點積優化成1個點積

=>令

L=aL?-z*1n

R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n

δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>

5.驗證：

證明者把L/R/V發送給驗證者；驗證者事先算好δ驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n?>=v算出v驗證者根據L、R、v、δ驗證等式<L,R>=z2?*v+δ因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.一個零知識證明協議

由于L、R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子sL、sR來隱藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：

此時，定義公式(12)

可以看出系數t0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0?=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

需要校驗：

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0?+t1x+t2x2

需要校驗：

=>?當且僅當t和τx?welle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**個元素給驗證者，總共2n+3個Zp元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))。

附錄

Bulletproofs論文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

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