硬核：深入分析 TWAMM 做市商的數學原理_AMM

從數學角度論證和解釋 Uniswap 創始人與 Paradigm 研究團隊設計的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 與 Uniswap 創始人 Hayden Adams 一起合作設計了一個全新的做市模型「時間加權做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根據其發表文章介紹，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大額訂單，工作原理是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，在一定時間內使用嵌入式 AMM 平滑地執行這些交易。

關于 TWAMM 的虛擬交易所涉及的數學，Dave White 在文中并沒有多費筆墨，只在最后給出了非常簡單的數學結論，這對于理解 TWAMM 的數學原理非常不利。本文將重點對 TWAMM 的數學原理進行嚴格的論證和解釋，至于 TWAMM 模型詳細的設計原理，可以前往 Paradiagm 官網查看，本文不再做詳述。

Google Play允許在應用商店里的App和游戲中集成NFT:金色財經報道，Google Play宣布了一項重大政策轉變，允許開發者將NFT等數字資產集成至其應用商店的APP和游戲中。決定提供購買、出售或賺取代幣化資產功能的公司將被要求在Play Console中明確表示該應用程序中存在基于區塊鏈的元素。

Google Play的Group Product經理Joseph Mills在一篇博客文章中寫道，這將使合作伙伴能夠重新構想“帶有用戶所擁有內容的傳統游戲”，并通過NFT獎勵提高“用戶忠誠度”。[2023/7/13 10:51:28]

假設 TWAMM 執行大額虛擬交易需要 N 個區塊，出售 X 的池子以每區塊 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每個區塊 yrate 的速率出售。因此，在整個期間售出的 X 總量為 xin=Nxrate，售出的 Y 總量為 yin=Nyrate。

Binance Pay與CityPay.io達成合作:2月28日消息，據官方消息，Binance Pay 與 CityPay.io 達成合作，讓格魯吉亞的用戶可以使用加密貨幣可以在 600 多家其他供應商消費，包括主要酒店、餐館和超市。[2023/2/28 12:34:33]

同時，我們將此時間段嵌入 AMM 的初始儲備 xreserve 和 yreserve 分別表示為 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。

按照 TWAMM 的設計，大額訂單是隨著區塊進行交易的，每個區塊出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同時 AMM 會更新 xreserve 和 yreserve 的值，整個過程總共交易 N 次。

值得注意的是，AMM 的每個區塊交易總是遵循恒定乘積做市。

胖企鵝Pudgy Penguins發文介紹soulTransport協議:1月24日消息，胖企鵝Pudgy Penguins發布推文介紹soulTransport協議。soulTransport允許用戶和俱樂部部署他們自己的SBT，并獎勵用戶參與，以發展Pudgy生態系統。soulTransport將從數量有限的個人和俱樂部開始，但隨著測試用例的增加，soulTransport也會向所有人開放。[2023/1/24 11:28:19]

首先，在執行第 n-1 區塊的交易后，我們假設此時 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分別為 xn-1 和 yn-1。

Kevin O’Leary：在監管政策出臺之前，比特幣價格不會有所突破:金色財經報道，SharkTank的Kevin O'Leary對比特幣（BTC）在當前條件下反彈到25000美元價位以上的能力表示懷疑。O'Leary在Stansberry Research的采訪中說，比特幣的價格停滯不前，因為缺乏加密貨幣的監管，阻礙了機構在該領域的投資。他說：“我們希望有政策，特別是我們這些從事金融服務的人，因為我們認為它會釋放機構投資者對加密貨幣的興趣的力量。所以我們需要政策來達到這個目的。”

O’Leary認為，比特幣將被鎖定在20,000美元和25,000美元之間，直到獲得政策。在有監管之前，機構投資者不會購買比特幣。（The Daily Hodl）[2022/8/28 12:53:03]

接下來執行第 n 區塊的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分別向 AMM 輸入 xrate 和 yrate，命：

PoolTogether使用NFT眾籌進行法律辯護:金色財經報道，DeFi無損彩票項目PoolTogether因陷入法律困境，正在轉向利用NFT來為其辯護基金進行眾籌。據其網站稱，該公司周四發布的“?Poly?”NFT 系列資金將用于支持 PoolTogether Inc應對集體訴訟。PoolTogether 是一款基于應用程序的無損儲蓄游戲，用戶可以在平臺上使用 DeFi 協議在平臺上存入資金贏得獎品。（Coindesk）[2022/5/27 3:44:37]

因為 xrate 和 yrate 非常微小，且區塊的交易 AMM 遵循恒定乘積做市商，我們可以得到，

化簡，

在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我們進一步可以獲得 n 區塊的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，

通過觀察，我們發現 xn*yn=xn-1*yn-1，這正好符合 AMM 的循恒定乘積做市的前提要求。

令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，這是一個常數。

先對 xn 求得一般公式，并獲得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。

yn 的分式線性遞歸表達式如下：

首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，則

計算得到，

而，

xin 等于 0，yin 不等于 0 時，討論同上。

若 xin 和 yin 都不等于 0，對于一般的分式線性遞歸，我們可以采用不動點的方法求解。

進一步計算，

TWAMM 的基本假設是將長期大額訂單分解為無限多個無限小的虛擬訂單，也即是 N 可以取無窮大，這時候可以獲得 xN 的極限值。

其中，

相似的，

最后，經過簡單的驗證 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然滿足 AMM 的恒定乘積。

至此，我們完成了 TWAMM 的數學原理嚴格的論證和解釋，并得到了與 「時間加權做市商 TWAMM」 一文完全相同的結論。

撰文：luffy

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